史上最難邏輯題！

撰文 BRIAN GALLAGHER

翻譯 徐付琪

審校 楊晨 張士超

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1957年，普林斯頓大學(xué)博士生 Raymond Smullyan 在一位理論計算機科學(xué)創(chuàng)始人的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)。他偶爾會去紐約玩。一次，他在那里遇到了一位“非常迷人的女音樂家”，情場圣手 Smullyan 在他們第一次約會的步調(diào)上，可謂非?！斑壿嫛保萌擞跓o形。

他說道：“ 我們來做個游戲吧。我先說一句話，如果那句話是真的，可以把你的簽名給我嗎？”

女音樂家饒有興致地回答：“當(dāng)然?！?/p>

“不過如果我說的不是真的，那就不要給我簽名了?！?/p>

“好的…”

緊接著，他說：“ 你既不會給我簽名也不會給我一個吻。”

稍微想一下兒吧，不過你最后肯定能明白 Smullyan 的機智之處。

按照協(xié)議，如果這句話的是對的，女音樂家就要給 Smullyan 簽名；但這句話成立本身意味著“她不會給他簽名”。而如果這句話若是錯的，那么她就要給他簽名或是吻。這就是她面臨的困境：如果這句話不成立，她就不能給簽名。這樣，Smullyan 巧妙地運用邏輯學(xué)，以一句錯誤的話贏得了一個吻。（ 更贏得了美好的愛情：二人后來步入了婚姻殿堂。）

Raymond Smullyan 圖片來源：mesosyn.com

Smullyan 喜歡這類邏輯游戲，人們也因為這類邏輯游戲而喜歡他。在休閑數(shù)學(xué)和邏輯方面，他的書《 這本書的書名是什么》（What Is the Name of This Book?)和《 嘲弄一只嘲鶇》（To Mock a Mockingbird）不僅激勵了人們投身邏輯學(xué)研究，同時也改變了數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的教學(xué)方式。在他近百年的人生中，96歲高齡的 Smullyan 不僅為現(xiàn)代邏輯學(xué)奠定了基礎(chǔ)，還是一名出色的鋼琴家和魔術(shù)師，甚至還寫了一些關(guān)于道教和象棋的文章?！拔阌怪靡?，他是邏輯謎題的大師?！彼牟┦可?Bruce Horowitz 這樣評論道。

史上最難邏輯題

至今，哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們?nèi)灾杂?Smullyan 留下的一項寶貴財富——“世界上最難的邏輯謎題”。這一謎題由麻省理工學(xué)院的邏輯哲學(xué)家 George Boolos 命名。Smullyan的這位同事也是個中好手，熱愛一切邏輯學(xué)難題。他曾經(jīng)自我設(shè)限，只用單音節(jié)詞做了一場哥德爾第二不完備定理的講座，而這條定理，是“現(xiàn)代邏輯學(xué)最重要的成果之一”。

史上最難邏輯謎題是這么說的：

有真、偽、任性三位神，真之神只講真話，偽之神只講假話，任性之神的話或真或假，完全隨機。你要做的是，只通過三個是非問題來確定三者身份，每個問題只能問其中一位神。他們能聽懂你講話，但只會用自己的語言回答，“是”和“否”分別是“噠”和“呀”中的一個，但你不知道對應(yīng)關(guān)系。

看到這道題時，樂于接受挑戰(zhàn)的我拿起紙筆，扎進沙發(fā)，心想這要不了兩個小時就能解這道題。似乎只要一次性提出三個問題，尋找問題對應(yīng)的答案就好。例如，我向甲詢問乙是不是真，向乙詢問甲是不是真，然后再問丙自己是不是真。但是幾個小時過去了，我?guī)缀踉嚤榱俗约耗芟氲降乃袉栴}，都沒能成功，我開始理解為什么這道題會被稱作“世上最難”了。很顯然，我的問題不足以讓這三位神告訴我他們的身份。

十分沮喪的我開始上網(wǎng)尋求指導(dǎo)，我發(fā)現(xiàn)攀上這一邏輯謎題高峰的大師是 Boolos，他在1996年解決了這一問題。這一問題求解的過程是我看過的最好的邏輯學(xué)課程之一。如果你想自己嘗試解決這個問題，不妨先不要下拉屏幕。如果你成功的話，我將表示祝賀，如果很不幸沒有成功，你可以接著這篇文章，看 Boolos 是怎樣解決這一問題的。（譯者注：如果只想降低難度，可以一點一點往下看。）

額滴神吶：在最難邏輯謎題中，你得判斷真、偽、任性三位大神的真實身份。

Boolos 的解法中首先聲明的一點是：不要像我上面那樣，先腦子里想好，然后一次性拋出所有問題。你的第一個任務(wù)是想出一個問題，確定誰一定不是任性之神，或者誰只能是真之神或偽之神。這樣你就可以通過排除法確定誰是任性之神，一旦確定了任性之神的身份，剩下的問題就迎刃而解了。

為了更好地理解這種方法，Boolos 給了我們?nèi)齻€簡化版例子。

簡化版 I

這個例子其實就是 Smullyan《這本書的書名是什么？》中經(jīng)典的“騎士和流氓問題”：騎士只說真話，流氓只說假話，如何只提一個是非問題，根據(jù)他們的回答確定兩人身份？

在解決這個問題之前，不妨設(shè)想這樣的場景：假設(shè)你不清楚冥王星是不是矮行星，決定向周圍的人咨詢，但又不知道對方到底是騎士還是流氓，要怎樣問才能確定冥王星是否為矮行星呢？

Boolo 解釋說，你得下個套向他們套出你想要的答案。這個套路就是用“當(dāng)且僅當(dāng)”的雙重條件提問。當(dāng)你用當(dāng)且僅當(dāng)“把兩個同真或同假的句子聯(lián)系在一起，這句話一定是真的；但是如果這兩個句子一真一假，這就是句假話?！薄爱?dāng)且僅當(dāng)”就像乘號一樣，同正或同負的兩數(shù)相乘總得到正的結(jié)果，而在兩句同真或同假的情況下你得到的答案永遠是真的。

現(xiàn)在這個情景下就是：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時，你是騎士嗎？”

（譯者注：不習(xí)慣使用“當(dāng)且僅當(dāng)”的同學(xué)，可以這樣理解：冥王星是矮行星，你是騎士，這兩個命題的真假相同嗎？）

聽你提問的人要么是騎士、要么是流氓，得到的回答共有四種可能：

如果這個人是騎士，冥王星是矮行星，那么答復(fù)是“是”；因為“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)系的兩句話都是真的，而騎士總是說真話。

如果這個人是騎士，冥王星不是矮行星，那么答復(fù)是“否”；因為問題中包含一句錯話。

如果這個人是流氓，冥王星是矮行星，那么答復(fù)是“是”；因為流氓總說謊，正確的答案應(yīng)該是“否”。

如果這個人是流氓，冥王星不是矮行星，那么答復(fù)是“否”，因為正確的答案是“是”。

看看我們得到了什么結(jié)果：使用雙重條件句提問，就一定能得到我們想要的信息。如果冥王星是矮行星，得到的回答就是“是”，否則就是“否” 。

但是要注意，“史上最難邏輯謎題”與“騎士和流氓”有所不同——你聽不懂他們的答復(fù)。

簡化版 II

在這個例子里，你知道自己在詢問只說真話的騎士，但是他只能用“噠”或“呀”回復(fù)你。這種情況下，你要通過怎樣一個是非問題判斷出冥王星是否為矮行星呢？

參照上一題的思路，問騎士“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時，‘噠’是‘是’的意思嗎？”正是這樣！即便我們不知道這兩個詞的含義，但如果冥王星是矮行星的話，你一定會得到“噠”的答復(fù)；如果不是則回復(fù)為“呀”。上一個例子中，我們不必弄清這個人到底是騎士還是流氓；而在這個例子中，我們也不需要弄清“噠”和“呀”的含義。

按照 Boolos 的說法，“史上最難邏輯題”就是前兩個簡化版問題和第三個問題的組合。在解決它之前，我們先整合一下前兩個問題：

為了判斷冥王星是否為矮行星，面對一個不知是騎士還是流氓的人，而且他只會回答“噠”或“呀”，你會怎樣提問呢？如果你想的是，既然這是個復(fù)合問題，我們不妨用復(fù)合的提問方式，那你就想對了。“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時你是騎士，當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時，‘噠’的含義是‘是’嗎？”這樣，不論你問的是騎士還是流氓，如果冥王星是矮行星，你得到的答復(fù)就是“噠”；如果不是，則為“呀”。這種構(gòu)思巧妙的問題是解開謎題的鑰匙。

每個問題的真假都是確定的，不存在模棱兩可的情況。

簡化版 III

我把三張牌倒扣放在你面前，三張牌背面一樣但正面分別是兩紅一黑，你不清楚它們的順序，但是我知道。你要指著其中一張牌，問我一個是非問題以確定其中的一張紅色牌。如果你指到紅牌的話，我就會像騎士一樣說真話；如果指到黑牌，我就會效仿任性之神，可能說真話也可能說假話。那么你會指哪里，問什么問題呢？

這個問題看起來似乎更復(fù)雜，但事實上完全不是。你只需要隨意指一張牌問剩下的兩張牌中的一張是否為紅色。例如你指向中間的牌，然后問它左側(cè)那張是否為紅色。不論中間的牌是不是紅色，如果我告訴你“是”的話你選左邊，“否”的話選右邊，你選的牌都一定是紅色的。為什么呢？如果中間是張紅牌，那么我回答“是”就說明它左邊也是紅牌；如果回答“否”，則說明右邊是紅牌。如果中間是張黑牌，那么“是”或“否”都沒有關(guān)系，因為此時它的左右都是紅牌。所以，不論你指的是不是紅牌，只要你要猜的牌不是你所指的牌，你所得到的“是”或“否”，都能幫你確定另一張紅牌。

這種指著一張牌問另一張牌的策略也可以用在“史上最難邏輯謎題”中，找出那個回答或真或假的神 。 指向一張牌本身也是你提問的一部分，換成文字來說，相當(dāng)于用指出某位是任性之神的斷言，代替了上個復(fù)合問題中“冥王星是不是矮行星”的事實提問。這和決定指向哪張牌其實是一樣的。誰是任性之神的答案取決于向誰提問，但是這并不重要，向三位神中的任何一位提問都能得到答案。

破解最難題

我們可以向甲神詢問乙神是不是任性之神：“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時你是真之神，當(dāng)且僅當(dāng)前一句為真時‘噠’才可以理解成‘是’嗎？”你同樣也可以指著乙神而問甲神的身份。在第三個例子里，不管回答如實還是隨機，你都可以根據(jù)“是”或者“非”來確定一張紅色的牌。在這里也一樣，不論甲的身份如何，如果你得到的答案是“噠”，那么丙就是真之神或偽之神中的一個；如果答案是“呀”，那么乙就是真之神和偽之神中的一個。

假設(shè)答案是“呀”（回答必居其一），那么乙就排除了是任性之神的可能，這正是我們想要的結(jié)果，因為我們知道怎么確定這種情況下對方的身份，于是我們問他第二個問題：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時，‘噠’才意味著‘是’嗎？”，因為我們知道冥王星是矮行星，那么乙的兩種回答就有：

1、如果乙是真之神，那么答案就是“噠”。

2、如果乙是偽之神，那么答案就是“呀”，因為正確的答案是“噠”，而他總是講假話。

假設(shè)答案是“噠”，那么乙就是真之神。此時我們向他詢問最后一個問題，“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時，‘噠’的意思才是‘是’嗎？”考慮到任性之神只可能是甲或丙中的一個，那么：

1、如果回答是“噠”，即可說明甲是任性之神，于是丙就是偽之神。

2、如果 回答是“呀”，即可說明丙是任性之神，于是甲就是偽之神。

讓我們回過頭來總結(jié)下 Boolos 的邏輯，我們判斷真、偽、任性之神的三個問題是這樣的：

1、向甲神提問：“當(dāng)且僅當(dāng)乙是任性之神時你是真之神，當(dāng)且僅當(dāng)上一句為真時‘da’的意思才是‘是’嗎？”（假設(shè)甲回答“呀”，那么乙就是真之神或偽之神。）

2、向乙提問：“當(dāng)且僅當(dāng)冥王星是矮行星時，“噠”才意味著‘是’嗎？”（假設(shè)乙回答“噠”，那么乙就是真之神。）

3、繼續(xù)追問乙（真之神）：“當(dāng)且僅當(dāng)甲是任性之神時，‘噠’才意味著‘是’嗎？”由于乙是真之神，他如果回答“噠”就意味著甲是任性之神，丙是偽之神。

問題解決！

所以“史上最難邏輯謎題”教會了我們什么呢？按照Boolos的說法，它告訴我們邏輯學(xué)基本方法里“排中律”的重要性。排中律的基本思想非常簡單：每句話或者是真的、或者是假的，但不可能處于中間情況。Boolos說：“如果否認排中律的作用，那么在日常生活中，我們恐怕會完全喪失在多種可能中做判斷的能力?！边@是條讓人清醒的思想。我們必須感謝Smullyan的謎題，讓我們在愉悅的思考中學(xué)到了這一課。

原文鏈接 ： http://nautil.us/issue/30/identity/how-to-solve-the-hardest-logic-puzzle-ever

本文由微信公眾號“科研圈”（ID：keyanquan）授權(quán)轉(zhuǎn)載。

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編輯：Alex Yuan