黎曼面?？臻g與霍奇積分漫談

給定虧格的所有緊致黎曼面的集合，可以附加某種結(jié)構(gòu)形成?？臻g。黎曼面?？臻g的幾何性質(zhì)在數(shù)學(xué)與物理的許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。我們將探討黎曼面?？臻g的一種幾何計(jì)數(shù)不變量——霍奇積分。

撰文：徐浩（美國匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)系）

責(zé)編：譚曳

數(shù)學(xué)家引入?？臻g是為了研究數(shù)學(xué)中某些特定對象的分類問題。舉個(gè)通俗的例子，甜甜圈可以看成一種曲面，數(shù)學(xué)家對其上的一種幾何結(jié)構(gòu)——復(fù)結(jié)構(gòu)感興趣（復(fù)結(jié)構(gòu)好比甜甜圈上各種口味的果醬）。人們發(fā)現(xiàn)所有不同的復(fù)結(jié)構(gòu)可以放在一起組成一個(gè)空間（想象貨架上擺放的各色果醬，要求沒有兩瓶果醬是相同的），滿足鄰近的復(fù)結(jié)構(gòu)連續(xù)變化（桔味果醬邊上必須擺的是香橙、橘子或者柚子果醬）。這種甜甜圈的?？臻g，自帶一些奇妙的幾何與算術(shù)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)家研究?？臻g上的一種特殊函數(shù)，叫做模形式（定制的多味果醬甜甜圈），這在英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的工作中起了關(guān)鍵的作用。了解?？臻g的局部結(jié)構(gòu)需要研究曲面的形變，即曲面族的概念（如同甜甜圈禮盒套裝）。

上面的例子稱為橢圓曲線模空間，可以表示為下圖中向上延展到無窮的灰色區(qū)域，數(shù)學(xué)家稱之為基本域。

橢圓曲線?？臻g對應(yīng)虧格為1的黎曼面?？臻g（沒有鏡片的眼鏡架可以看做是虧格為2的黎曼面，以此類推）。類似地，也存在任意虧格的黎曼面?？臻g。比如虧格為2的黎曼面?？臻g，可以看做球面上選取6個(gè)不同點(diǎn)的所有可能的方式構(gòu)成的集合。對于虧格更高的黎曼面?？臻g，描述起來就更加困難了。

黎曼面?？臻g的嚴(yán)格構(gòu)造，是20世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)發(fā)展的輝煌成就。但是早在1857年，黎曼就計(jì)算出了虧格為g的黎曼面?？臻g的維數(shù)等于6g-6，預(yù)言了它們在數(shù)學(xué)中的重要性。即使只對單個(gè)黎曼面的性質(zhì)感興趣，?？臻g也是有用的工具。這一點(diǎn)比較好理解，就像我們可以通過觀察“朋友圈”，更全面地了解一個(gè)人。

受黎曼影響，19世紀(jì)末到20世紀(jì)初期的意大利和德國代數(shù)幾何學(xué)家們，在工作中廣泛應(yīng)用黎曼面模空間，雖然許多證明并不嚴(yán)格，而且在連?？臻g的定義都很模糊的情況下，他們依然得到了一些漂亮的結(jié)果。沒有橋只能先摸著石頭過河的例子在數(shù)學(xué)上有很多。比如有限單群分類中最大的散在單群——魔群的構(gòu)造直到1982年才給出，但是人們很早就預(yù)測它的存在，還計(jì)算出它有194個(gè)不可約表示，啟發(fā)了McKay在1978年發(fā)現(xiàn)月光魔群猜想。

霍奇積分與威滕猜想

黎曼面模空間至今仍有許多待解難題。前面提到形變理論可以研究?？臻g的局部結(jié)構(gòu)，而窺探黎曼面?？臻g整體幾何性質(zhì)的一種辦法是通過計(jì)算其上的各種霍奇積分。自從牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)引入積分的概念以來，積分早已不僅僅局限于歐氏空間。流形、測度空間、?？臻g上的積分已經(jīng)是數(shù)學(xué)和物理學(xué)的常規(guī)工具。甚至積分值也可以不再是數(shù)，比如Motivic積分得到的是代數(shù)簇。

由于黎曼面?？臻g的復(fù)雜構(gòu)造，傳統(tǒng)代數(shù)幾何方法面對霍奇積分束手無策。許多年來數(shù)學(xué)家只能算一些特殊的簡單霍奇積分。直到1990年物理學(xué)家威滕（Edward Witten）提出了一個(gè)驚人的猜想，可以很輕松計(jì)算黎曼面模空間上的一大類霍奇積分。

威滕的想法來自于弦論，研究二維重力理論有兩種看似不同卻等價(jià)的途徑——拓?fù)渲亓碚摵途仃嚹Ｐ?，前者可以用霍奇積分的生成級數(shù)表示，后者可以表示成KdV方程的解。如果威滕猜想成立，計(jì)算霍奇積分就只需要解KdV方程就可以了。

以橢圓曲線?？臻g的霍奇積分為例，我們可以再用甜甜圈和果醬做個(gè)類比。一家新開張的甜甜圈店老板想要購買一批果醬，自然要比較各種品牌的價(jià)格。不同品牌的果醬總價(jià)好比橢圓曲線?？臻g上不同的霍奇積分。因?yàn)槭切碌觊_張，老板只能親自跑去一家家超市查詢價(jià)格，不但繁瑣而且容易出錯(cuò)。這時(shí)候一位果醬經(jīng)銷商登門拜訪，告訴老板，他這里有所有果醬品牌的價(jià)目表，不但送貨上門，量大還可以打折……

弦論認(rèn)為自然界萬物的基本單元是一條振動(dòng)的弦，它在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)軌跡形成黎曼面。KdV方程是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家研究水波提出的方程，它的解人們已經(jīng)研究得很透徹了。威滕猜想破天荒把霍奇積分與KdV方程這兩個(gè)之前毫不相關(guān)的領(lǐng)域聯(lián)系在一起，數(shù)學(xué)家的欣喜一點(diǎn)不亞于甜甜圈店老板。正可謂“弦舞重力動(dòng)乾坤，參模空間起漣漪?！?/p>

1991年，年僅27歲的康切維奇（Maxim Kontsevich）在波恩大學(xué)訪問期間證明了威滕猜想。這是康切維奇獲得1998年菲爾茲獎(jiǎng)的主要成果之一。威滕和康切維奇都是同時(shí)通曉物理和數(shù)學(xué)的奇才。威滕本科學(xué)的是歷史，研究生念過經(jīng)濟(jì)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，然后才讀的物理博士?？登芯S奇1992年獲得波恩大學(xué)博士學(xué)位，這也是他生平的第一個(gè)學(xué)位。

莫扎哈尼與韋伊-皮特森體積

黎曼面?？臻g的韋伊-皮特森體積也是一種霍奇積分，與韋伊-皮特森度量和雙曲幾何有密切聯(lián)系。

莫扎哈尼（Maryam Mirzakhani）是第一位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的女?dāng)?shù)學(xué)家。她在博士論文中給出了韋伊-皮特森體積新的遞歸公式，并應(yīng)用其證明了黎曼面上給定長度的簡單測地線數(shù)目的多項(xiàng)式漸近，并給出了威滕猜想的新證明。她把McShane等式從環(huán)面推廣到任意虧格曲面，發(fā)展?？臻g上新的積分方法，用辛約化建立與相交數(shù)的聯(lián)系等，都是很原創(chuàng)的工作。莫扎哈尼博士畢業(yè)不到3年就收到了哈佛、普林斯頓、斯坦福、芝加哥大學(xué)的正教授職位邀請。

2006年，加州大學(xué)戴維斯分校Mulase教授和他的學(xué)生Safnuk發(fā)現(xiàn)，莫扎哈尼遞歸公式可以寫成一種等價(jià)的微分形式。記得劉老師讓我讀莫扎哈尼和Mulase-Safnuk的文章，我們發(fā)現(xiàn)可以把莫扎哈尼遞歸公式推廣到高次韋伊-皮特森體積。后來我們的工作還被莫扎哈尼用于研究韋伊-皮特森體積的大虧格漸近展開。

Marino-Vafa猜想

2001年兩位物理學(xué)家Marino和Vafa通過研究陳-西蒙斯理論和卡拉比-丘空間的大N對偶關(guān)系，猜測黎曼面模空間上一類霍奇積分的生成級數(shù)可以表達(dá)為關(guān)于對稱群表示的組合閉公式。

物理學(xué)家認(rèn)為，目前已知的五種弦理論之間存在對偶關(guān)系（即某種變換下的等價(jià)關(guān)系）。陳-西蒙斯理論和卡拉比-丘空間的大N對偶關(guān)系是其中一例。陳-西蒙斯理論源自陳省身與西蒙斯關(guān)于示性類的工作，是威滕開創(chuàng)的一種拓?fù)淞孔訄稣?，在扭結(jié)和三維流形理論中有重要應(yīng)用。西蒙斯在極小子流形、和樂群分類、示性類等領(lǐng)域都有重要貢獻(xiàn)。80年代初期他離開數(shù)學(xué)創(chuàng)辦對沖基金，成為億萬富翁。

劉克峰與劉秋菊、周堅(jiān)合作，在2003年完成了Marino-Vafa猜想的證明。Marino-Vafa公式與威滕-康切維奇公式相比，前者的霍奇積分更加廣泛，而且從Marino-Vafa公式出發(fā)，可以統(tǒng)一推導(dǎo)出包括威滕-康切維奇公式在內(nèi)的許多霍奇積分恒等式。后來，劉克峰與李駿、劉秋菊、周堅(jiān)合作推廣他們的方法建立數(shù)學(xué)拓?fù)漤旤c(diǎn)理論。劉老師的學(xué)生彭磐用這一新的理論證明了著名的Gopakumar-Vafa猜想。

黎曼面模空間的幾何度量

黎曼面?？臻g的度量，不僅可以告訴我們兩個(gè)黎曼面之間的距離，而且可以蘊(yùn)涵許多幾何拓?fù)湫再|(zhì)。丘成桐1977年證明卡拉比猜想，使得凱勒-愛因斯坦度量成為復(fù)幾何研究的重要工具，一大批難題得以解決。開創(chuàng)了幾何分析的黃金時(shí)代?？ɡ?丘空間也成為超弦理論的基石。

推廣證明卡拉比猜想的方法，丘成桐在80年代初期與鄭紹遠(yuǎn)、莫毅明合作證明了黎曼面模空間上凱勒-愛因斯坦度量的存在性。丘成桐還猜測黎曼面?？臻g上的凱勒-愛因斯坦度量與經(jīng)典的Teichmuller度量，Bergman度量都是等價(jià)的。

劉克峰與孫曉峰、丘成桐合作，通過引進(jìn)全新的Liu-Sun-Yau度量，分析曲率漸近性質(zhì)，最終證明了丘成桐猜想，并解決了這個(gè)領(lǐng)域里許多與度量等價(jià)性相關(guān)的古老問題。作為推論，還得出?？臻g對數(shù)余切叢穩(wěn)定性的代數(shù)幾何結(jié)果。這個(gè)結(jié)果代數(shù)幾何學(xué)家至今仍無從下手。

用復(fù)解析方法研究代數(shù)幾何的數(shù)學(xué)分支被稱為超越代數(shù)幾何。解析方法往往比代數(shù)方法更為直觀，長期以來大多數(shù)深刻的代數(shù)幾何結(jié)果都是最先由解析方法證明的。小平邦彥是超越代數(shù)幾何的先驅(qū)，他在1953年用解析方法證明以他名字命名的消滅定理，第一個(gè)代數(shù)證明直到1987年才由Deligne-Illusie給出。丘成桐1977年發(fā)表的文章《卡拉比猜想與代數(shù)幾何若干新結(jié)果》是超越代數(shù)幾何的里程碑，其中用凱勒-愛因斯坦度量解決了Severi猜想和Bogomolov-Miyaoka-Yau陳數(shù)不等式等眾多長期懸而未決的代數(shù)幾何難題。

法伯猜想

瑞典皇家科學(xué)院院士法伯在上世紀(jì)90年代提出關(guān)于黎曼面?？臻g萬有環(huán)的系列猜想。其中與萬有環(huán)的乘積結(jié)構(gòu)有關(guān)的法伯相交數(shù)猜想，是一個(gè)霍奇積分恒等式，蘊(yùn)涵霍奇積分的一些奇妙的組合結(jié)構(gòu)。

2006年，斯坦福大學(xué)瓦開教授與兩位加拿大皇家科學(xué)院院士Goulden和Jackson應(yīng)用格羅莫夫-威滕理論證明了法伯相交數(shù)猜想在標(biāo)示點(diǎn)不超過4的情形。劉老師建議我結(jié)合計(jì)算機(jī)研究法伯猜想。2008年，我們通過威滕-康切維奇定理推導(dǎo)n點(diǎn)函數(shù)遞歸公式，并用其給出了法伯相交數(shù)猜想的完整證明。

法伯猜想中至今還未解決的是法伯Gorenstein猜想，即萬有環(huán)滿足龐加萊對偶。法伯驗(yàn)證了虧格不超過23的情形。在高虧格時(shí)有兩方面的挑戰(zhàn)，一方面要找到足夠多的萬有關(guān)系，另一方面要計(jì)算期望的Gorenstein維數(shù)。2009年，劉老師和我給出計(jì)算Gorenstein維數(shù)的新方法。應(yīng)用我們的工作，法伯發(fā)現(xiàn)在虧格為24時(shí)，法伯-扎吉爾關(guān)系式在余維數(shù)12時(shí)恰好比Gorenstein維數(shù)少1；訚琪崢博士在帶標(biāo)示點(diǎn)的黎曼面?？臻g也發(fā)現(xiàn)了類似的高虧格缺失關(guān)系。自此人們開始認(rèn)為法伯Gorenstein猜想很可能不成立。

總結(jié)

本文講述的內(nèi)容只是作者有所涉足的黎曼面模空間之冰山一角。黎曼面?？臻g的研究幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。如劉克峰老師常對學(xué)生說的那樣：“?？臻g的數(shù)學(xué)都是好的數(shù)學(xué)。?？臻g的任何結(jié)果都可以流傳下來?！崩杪c霍奇是不同時(shí)代的大數(shù)學(xué)家，但他們也有交集，比如霍奇理論中非常重要的霍奇-黎曼雙線性關(guān)系。霍奇理論是20世紀(jì)超越代數(shù)幾何的重要工具，黎曼面的霍奇理論可以追溯到19世紀(jì)黎曼的工作。

致謝

感謝丘成桐教授、劉克峰教授和王善平教授對本文的寶貴建議。

后記

本文可看作劉克峰教授的文章《知識技巧與想象力》的讀后感。筆者2009年在浙江大學(xué)數(shù)學(xué)中心師從劉教授獲得博士學(xué)位，現(xiàn)任教于美國匹茲堡大學(xué)。作者無比敬佩劉老師的為人、處事和治學(xué)。衷心感激劉老師的諄諄教誨和培養(yǎng)之恩。2017新年再讀《知識技巧與想象力》，讀到“想象力比知識更重要”，“做數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)要順流而下，要追求輕舟已過萬重山般的流暢”兩句時(shí)感觸尤深。撰文之余，作詩一首，與劉門學(xué)子共勉。

劉師教誨有感

學(xué)生：徐浩、樓筱靜

玉泉曾經(jīng)留月影

劉門幾度拓華弦

梅山鶴亭終有徑

謙思恪學(xué)自成蹊

感謝新加坡國立大學(xué)韓飛教授對第三、四句詩的啟發(fā)。感謝浙大數(shù)學(xué)中心全體師生員工，所有師兄師弟師妹們的友誼。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉克峰，《知識技巧與想象力》

http://www.cms.zju.edu.cn/news.asp?id=694

[2] 劉克峰，《物理激發(fā)的數(shù)學(xué)》

http://theory.gmw.cn/2011-01/17/content_1549100.htm

[3] 徐浩，樓筱靜，《劉師教誨有感（附注）》

http://blog.sciencenet.cn/blog-3298437-1027442.html