祖沖之：他不只算出了圓周率

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今天，是國際數(shù)學(xué)節(jié)，也是圓周率日。說到圓周率，不得不提的人自然是我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之。很少有人知道，除了數(shù)學(xué)外，祖沖之在天文、機(jī)械等多個領(lǐng)域都頗有研究，甚至還精通樂理、音韻。

割之彌細(xì)，所失彌少……

——劉徽（魏晉）

撰文：蔡天新（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

責(zé)編：李娟、韓琨

一、祖沖之與圓周率

祖沖之祖籍河北淶水，該縣如今隸屬保定市，與北京市的門頭溝區(qū)和房山區(qū)相接。但他于公元429年出生于南北朝時(shí)期南朝的政治、經(jīng)濟(jì)中心建康（今南京），這是比較稀罕的，依筆者之見，大都市不容易產(chǎn)生天才人物。自從317年晉室（東晉）南遷以來，江南地區(qū)的經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展，出現(xiàn)了一些繁榮的城市，建康是其中較為突出的代表。

祖家是一個官宦人家，祖沖之的曾祖父在東晉時(shí)官至侍中、光祿大夫，相當(dāng)于宰相和國策顧問之類。他的祖父和父親都在南朝做官，祖父是大匠卿，掌管宮室、宗廟、陵寢等的土木營建；父親是奉朝請，這是閑散大官。古時(shí)稱春季的朝見為朝，秋季的朝見為請。這個家族的歷代成員，大多對天文歷法頗有研究。

相比之下，祖沖之擔(dān)任過的官職較低，卻在天文學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域，乃至機(jī)械制造方面較其前輩取得更為杰出的成就。在劉宋時(shí)期，他曾出任南徐州從事史，這是督促文書、察舉非法的官職。必須指出的是，南徐州并非徐州之南，而是徐州東南三百多公里以外的鎮(zhèn)江。他還做過婁縣（今蘇州昆山）縣令，也做過掌朝廷禮儀與傳達(dá)使命的謁者仆射。到了蕭齊王朝，祖沖之官至長水校尉，這是他一生擔(dān)任過的最高官職（四品）。

從青年時(shí)代開始，祖沖之便對數(shù)學(xué)和天文學(xué)懷有濃厚興趣，他曾在著作中自述說，自幼起“專功數(shù)術(shù)，搜煉古今”。祖沖之把上古時(shí)起至他生活年代的各種文獻(xiàn)資料搜羅來研究，同時(shí)親自進(jìn)行精密的測量和仔細(xì)的推算，也不把自己束縛在古人陳腐的思想中?？梢哉f，祖沖之批判地接受了前人的學(xué)術(shù)遺產(chǎn)，并勇于提出自己的新見解，這是古往今來一切杰出科學(xué)家共有的優(yōu)良品質(zhì)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，祖沖之師承的是比他早兩百多年的魏晉時(shí)期的劉徽，后者發(fā)明了計(jì)算圓周率的“割圓術(shù)”和計(jì)算球體積的方法。由圓面積計(jì)算公式，容易得知，只要求得圓的面積，再除以半徑的平方，即為圓周率。而如何求圓面積，劉徽在《九章算術(shù)》的注釋里這樣寫道，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始計(jì)算面積，依次將邊數(shù)加倍，求出內(nèi)接正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形等等的面積。隨著邊數(shù)的增加，內(nèi)接正多邊形的面積越來越接近圓的面積，圓面積和圓周率的精確度就越高。

在古代，包括中國和巴比倫在內(nèi)的一些民族，都把3作為圓周率。這方面，古埃及人的計(jì)算較為準(zhǔn)確，他們得到的圓周率為3.1。劉徽用他的割圓術(shù)，求得圓周率為3.14，這與古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德算得的圓周率是一致的，后者比劉徽要早六個世紀(jì)。也有人認(rèn)為劉徽算出了3.1416，但未有足夠的證據(jù)。

祖沖之計(jì)算出的圓周率 范圍為：

3.1415926<<3.1415927

即精確到小數(shù)點(diǎn)后7位。此外，他還得了被稱為密率的這個分?jǐn)?shù)的圓周率，雖然只精確到小數(shù)點(diǎn)后6位，卻同樣讓人驚嘆。直到962年以后，祖沖之的圓周率才被阿拉伯統(tǒng)治下的波斯數(shù)學(xué)家卡西改進(jìn)。卡西利用了余弦函數(shù)的半角公式，簡化了計(jì)算，精確到了小數(shù)點(diǎn)后17位。而德國人奧托求得密率，則比祖沖之晚了一千多年。

祖沖之的成就是如何取得的？沒有任何史料流傳下來，因?yàn)樽鏇_之的著作全部失傳了，而記載圓周率值的《隋書》又沒有具體交代。由于當(dāng)時(shí)只有劉徽的割圓術(shù)一種方法，因此，我們只能猜測祖沖之用的是同樣的方法。那樣的話，他需要算出圓內(nèi)接正24576邊形的面積，而密率（有日本學(xué)者建議稱為祖率）的求得恐怕是借助于前輩天文學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”。

二、球體積與大明歷

相比圓的面積，球（古人稱為立圓）體積的計(jì)算公式更富技巧。在中國古典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里，是按照以下比例公式來求球體積的：

顯而易見，正方形面積、圓面積和圓柱體體積這三項(xiàng)數(shù)據(jù)是比較容易求得的。

祖沖之知道這個公式有誤，他在《駁議》中寫道，“至若立圓舊誤，張衡述而弗改……此則算氏劇疵也……臣昔以暇日，撰正眾謬?！笨梢娗蝮w積也是祖沖之的工作，但是，四百年以后，唐代學(xué)者李淳風(fēng)卻在為《九章算術(shù)》所寫的注文中，將這一工作歸功給了祖沖之的兒子 祖暅，把它作為“祖暅開立圓術(shù)”加以引述。無論如何，我們可以將此看成是祖氏父子共同的研究成果。

說起來，祖沖之父子的這一成就，也是在劉徽的工作基礎(chǔ)上完成的。劉徽首先發(fā)現(xiàn)上述比例的錯誤，并提出“牟合方蓋”的新概念，這是垂直相交的兩個同樣直徑的圓柱體的共同部分。在上述比例公式中，劉徽用牟合方蓋體積來代替圓柱體體積，即得

這個思想和方法是正確的，可惜的是，劉徽本人求不出牟合方蓋的體積。這一步是由祖氏父子完成的，他們把牟合方蓋以外的部分分成三塊，稱為“外三棋”，經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼{(diào)整、拼貼，求得那部分占立方體體積的三分之一。那樣一來，牟合方蓋的體積自然占了三分之二。再利用上述比例等式，便可求得球體積公式為：

不難想象，當(dāng)年祖沖之父子得到這個公式時(shí)，是何等的喜悅和激動?？墒?，他們有所不知的是，這個公式早在公元前3世紀(jì)就有了，它同樣得自于有著“數(shù)學(xué)之神”雅稱的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德。

除了數(shù)學(xué)領(lǐng)域，祖沖之在天文學(xué)方面也有成就。經(jīng)過實(shí)際觀察，他發(fā)現(xiàn)何承天制定的為當(dāng)時(shí)劉宋王朝所采納的元嘉歷有不少錯誤。例如，冬至?xí)r太陽所在宿度距實(shí)測已差三度，冬至、夏至?xí)r刻已差一天，五星（金木水火土）的出沒時(shí)間更是相差40天。于是，祖沖之便動手編制了新的歷法——《大明歷》，這是那個時(shí)代最準(zhǔn)確的歷法。

公元462年，33歲的祖沖之上表孝武帝劉駿，請他對新的歷法進(jìn)行討論。不料，卻遭到皇帝寵幸的大臣戴法興的反對。朝中百官懼怕戴的勢力，多有所附和。祖沖之理直氣壯，勇敢地進(jìn)行了辯論，并寫下了著名的《駁議》呈送皇帝。文中有他的兩句名言，“愿聞顯據(jù)，以核理實(shí)”“浮辭虛貶，竊非所懼”。這場辯論反映了進(jìn)步與保守、科學(xué)與反科學(xué)兩種勢力的斗爭，這也是科學(xué)的每一次進(jìn)步常會遇到的。

由于種種阻礙，直到半個世紀(jì)以后，已經(jīng)過了劉宋王朝和蕭齊王朝，終于在梁朝天監(jiān)九年（510年），由于祖暅的堅(jiān)決請求，再經(jīng)過實(shí)際天象的校驗(yàn)，大明歷才得以“甲子元?dú)v”之名正式頒行，那時(shí)祖沖之已去世10年了?！凹鬃釉?dú)v”引入了“歲差”的概念，把舊歷中每19年閏7年改為每391年閏144年，使得一年的誤差僅50秒。直到宋代，才有更好的歷法出現(xiàn)。

三、指南針和千里船

除了數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面的工作以外，祖沖之還制造過各種奇巧的機(jī)械，包括指南針和千里船，同時(shí)他還通曉音律，堪稱畢達(dá)哥拉斯式或阿基米德式的博學(xué)多才的科學(xué)人物。指南針的名稱在我國由來已久，但其機(jī)制構(gòu)造均未見流傳。據(jù)說三國時(shí)期的大發(fā)明家馬鈞曾制造出指南針，但到晉時(shí)早已失傳。

說到馬鈞，他是陜西興平人，不善言辭，還口吃，有點(diǎn)像16世紀(jì)那位給出三次方程一般解的意大利人塔爾塔利亞。除了指南針，他還奉詔制木偶百戲，民間稱“水轉(zhuǎn)百戲”。又改造了織綾機(jī)，將工效提高了四五倍。馬鈞還改良了用于農(nóng)業(yè)灌溉的龍骨水車，以及由諸葛亮發(fā)明的軍事機(jī)械連弩，后者是一種可以連續(xù)射箭的裝置。

據(jù)說，東晉末年，南朝劉宋的開國皇帝劉裕攻入十六國時(shí)期后秦的首都長安，得到的許多器物中就有指南針，但“機(jī)數(shù)不精，雖曰指南，多不審正，回曲步驟，猶須人功正之”。南朝最后一個皇帝順帝在位時(shí)，輔政的蕭道成“使沖之追修古法。沖之改造銅機(jī)，圓轉(zhuǎn)不窮而司方入如一，馬鈞以來未有也?！?/p>

除了指南針，祖沖之還“以諸葛亮有木牛流馬，乃造一器”，此器“不因風(fēng)水，施機(jī)自運(yùn)，不勞人力”。但因缺乏圖像資料，我們無法想象這是何種機(jī)械。不過，祖沖之“又造千里船，于新亭江試之，日行八百里”。顯然這是一種快船，卻不知新亭江在何處？是否是長江上的一段呢？他又“于樂游苑內(nèi)造水碓磨，武帝（齊武帝，483-494年在位）親自臨視”。

祖沖之的成就不僅限于自然科學(xué)方面，他還精通樂理、對于音律很有研究。有史料記載，“沖之解鐘律博塞當(dāng)時(shí)獨(dú)絕，莫能對者”。 （注：以上諸引言出自《南齊書》或《南史》中的《祖沖之傳》。）另外，祖沖之還著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等哲學(xué)著作，可惜與他的數(shù)學(xué)書一樣均已失傳。他的文學(xué)作品有《述異記》，在宋代的類書《太平御覽》等古籍中，尚可以看到此文的片斷摘錄。

在祖沖之生活的年代，算盤尚未發(fā)明，人們使用一種叫算籌的計(jì)算工具，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等材料。計(jì)算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大，籌算計(jì)算一次就要用筆記下結(jié)果，這樣就無法得到直觀的圖形和算式。因此只要有差錯，就只能從頭開始。祖沖之精益求精，反復(fù)籌算，才求得圓周率的精準(zhǔn)數(shù)值。

至于祖暅，他的生卒年代不詳，只知他曾任太府卿，這是南朝設(shè)置的掌管金帛財(cái)帑的官職。由于受家庭尤其是父親的影響，祖暅從小就對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，祖沖之的《大明歷》便是在祖暅三次建議的基礎(chǔ)上完成的。祖沖之的代表作、曾列入唐代數(shù)學(xué)教科書并流傳朝鮮和日本的《綴術(shù)》經(jīng)學(xué)者們考證，有些條目系祖暅所作。至于球體積的計(jì)算公式，則應(yīng)該是祖暅一生最具代表性的發(fā)現(xiàn)（如果是他發(fā)現(xiàn)的話）。

縱觀祖沖之父子的兩項(xiàng)主要數(shù)學(xué)成就，因?yàn)榘⒒椎略缫呀o出球體積計(jì)算公式，圓周率方面的工作更為世人稱道。但那就像體育比賽的記錄一樣，是為了被人打破而出現(xiàn)的。自從有了無窮級數(shù)的表示法和計(jì)算機(jī)，圓周率的人為競爭便失去了意義。個人認(rèn)為，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的兩項(xiàng)成就——中國剩余定理和秦九韶算法更有意義，也更重要。但圓周率的結(jié)論和故事無疑更容易被普通人了解，也更符合國人的英雄想象。

作者簡介

蔡天新： 浙江大學(xué)教授，詩人、隨筆家，近作有《數(shù)學(xué)傳奇》《數(shù)之書》《里約的誘惑：回憶拉丁美洲》《輕輕掐了她幾下》等。