5個(gè)沒(méi)人能解決的“簡(jiǎn)單”數(shù)學(xué)問(wèn)題

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數(shù)學(xué)有時(shí)候會(huì)變得特別復(fù)雜，然而幸好不是所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題都晦澀難懂。這篇文章將會(huì)向大家介紹數(shù)學(xué)領(lǐng)域中五個(gè)有趣的問(wèn)題，問(wèn)題本身簡(jiǎn)單易懂，但迄今仍未被數(shù)學(xué)家們解決。

1. Collatz 猜想

隨意選一個(gè)整數(shù)，如果它是偶數(shù)，那么將它除以2；如果它是奇數(shù)，那么將它乘以3再加1。對(duì)于得到的新的數(shù)，重復(fù)操作上面的運(yùn)算過(guò)程。如果你一直操作下去，你每次都終將得到1。

數(shù)學(xué)家們?cè)囼?yàn)了數(shù)百萬(wàn)個(gè)數(shù)，至今還沒(méi)發(fā)現(xiàn)哪怕一個(gè)不收斂到1的例子。然而問(wèn)題在于，數(shù)學(xué)家們也沒(méi)辦法證明一定不存在一個(gè)特殊的數(shù)，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個(gè)特別巨大的數(shù)，在這一套操作下趨向于無(wú)窮，或者趨向于一個(gè)除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但沒(méi)有人能證明這些特例的存在。

2. 移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題

你要搬新家了，想把你的沙發(fā)搬過(guò)去。問(wèn)題是，走廊有個(gè)轉(zhuǎn)角，你不得不在角落位置上給沙發(fā)轉(zhuǎn)方向。如果這個(gè)沙發(fā)很小，那沒(méi)什么問(wèn)題。如果是個(gè)挺大的沙發(fā)，估計(jì)得卡在角落上。如果你是個(gè)數(shù)學(xué)家，你會(huì)問(wèn)自己：能夠在角落上轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的最大的沙發(fā)有多大呢？這個(gè)沙發(fā)不一定得是矩形，可以說(shuō)任何形狀。

這便是“移動(dòng)沙發(fā)問(wèn)題”的核心，具體來(lái)說(shuō)就是：二維空間，走廊寬為1，轉(zhuǎn)角90°，求能轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角的最大二維面積是多少？

能轉(zhuǎn)過(guò)轉(zhuǎn)角的最大二維面積被稱(chēng)為“沙發(fā)常數(shù)”（the sofa constant）——這是真的，我不是騙你讀書(shū)少。沒(méi)人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當(dāng)大的沙發(fā)可以轉(zhuǎn)得過(guò)去，所以我們知道沙發(fā)常數(shù)一定比它們大；也有一些沙發(fā)無(wú)論如何都轉(zhuǎn)不過(guò)去，因此沙發(fā)常數(shù)一定比這些轉(zhuǎn)不過(guò)去的面積小。迄今位置，我們知道沙發(fā)常數(shù)落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問(wèn)題

還記得勾股定理，A^2+ B ^2 = C ^2 嗎？A、B、C三個(gè)字母表示直角三角形的三邊長(zhǎng)。畢達(dá)哥拉斯三角形指的是三邊長(zhǎng)都是整數(shù)的直角三角形，即滿(mǎn)足A ^2 + B ^2 = C ^2，且A、B、C都是整數(shù)。現(xiàn)在我們將這個(gè)概念擴(kuò)展到三維，在三維空間，我們需要四個(gè)數(shù)A、B、C和G。前三個(gè)數(shù)是立方體的三維邊長(zhǎng)，G是立方體的空間對(duì)角線長(zhǎng)度。

正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣，存在一些立方體的三邊和體對(duì)角線（A、B、C和G）都是整數(shù)，但對(duì)于立方體來(lái)說(shuō)還有三個(gè)面對(duì)角線（D、E和F），這就帶來(lái)一個(gè)有趣的問(wèn)題：有沒(méi)有立方體滿(mǎn)足這個(gè)7個(gè)邊長(zhǎng)都是整數(shù)的條件呢？

問(wèn)題的目標(biāo)在于找到一個(gè)立方體滿(mǎn)足A ^2 + B ^2 + C ^2 = G ^2，且全部的邊和對(duì)角線長(zhǎng)度都是整數(shù)，這種立方體被稱(chēng)為完美立方體（perfect cuboid）。數(shù)學(xué)家們測(cè)試了各種不同的可能構(gòu)型，還沒(méi)找到任何一個(gè)滿(mǎn)足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在，因此搜尋完美立方體的工作還在繼續(xù)。

4. 內(nèi)接正方形問(wèn)題

隨手畫(huà)一個(gè)閉合曲線，這個(gè)曲線不一定要是圓，可以是任何你想要的形狀，但曲線的起終點(diǎn)必須重合且曲線不能穿越自身，在這個(gè)曲線上可能找到四個(gè)點(diǎn)連成一個(gè)正方形。內(nèi)接正方形假設(shè)的內(nèi)容就是，每條閉合曲線（確切來(lái)說(shuō)是每個(gè)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單閉合曲線）一定有一個(gè)內(nèi)接正方形，這個(gè)正方形上四點(diǎn)都在這個(gè)閉合曲線上的某處。

許多閉合曲線上內(nèi)接其他形狀的問(wèn)題都已經(jīng)得到了解決，例如矩形或者三角形等，但正方形卻有點(diǎn)復(fù)雜，至今數(shù)學(xué)家們還沒(méi)有搞明白這個(gè)問(wèn)題的正式證明。

5. 美好結(jié)局問(wèn)題

這個(gè)問(wèn)題之所以被命名為“美好結(jié)局問(wèn)題”，是因?yàn)樗俪闪艘粚?duì)數(shù)學(xué)家的美好姻緣：數(shù)學(xué)家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解決這一問(wèn)題，他們最終結(jié)婚了（而這個(gè)問(wèn)題仍未解決）。概括來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題是這樣的：在一張紙面上隨機(jī)放置5個(gè)點(diǎn)，假設(shè)這5個(gè)點(diǎn)排布不特殊（比如排在一條直線上），你總能找到其中四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形，也即四個(gè)邊夾角小于180°的四邊形。這個(gè)定理的要點(diǎn)在于，不管這5個(gè)點(diǎn)的位置排布如何，你總能在5個(gè)點(diǎn)中構(gòu)造一個(gè)凸四邊形。

這是四邊形的情況，而數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，為了確保構(gòu)造出一個(gè)凸五邊形，似乎需要9個(gè)點(diǎn)；對(duì)于六邊形則需要17個(gè)點(diǎn)，但此外更多邊形的情況我們不清楚。構(gòu)造七邊形和更多變形需要多少點(diǎn)，依然是個(gè)謎。更重要的是，理應(yīng)有一個(gè)公式告訴我們對(duì)于某一邊數(shù)，需要多少個(gè)點(diǎn)?？茖W(xué)家們認(rèn)為這個(gè)公式可能是M=1+2 ^(N-2)，其中M是點(diǎn)數(shù)而N是邊數(shù)。但至今為止數(shù)學(xué)家們能夠證明的也就是上述這些有限范圍內(nèi)的結(jié)論了。

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