一張通往數(shù)學(xué)世界的地圖

繼物理學(xué)地圖之后，今天要給大家?guī)淼氖且粡埻ㄍ鶖?shù)學(xué)世界的地圖，概括了所有的數(shù)學(xué)分支。

故事還得從頭開始。一切都始于計數(shù)。

事實上，計數(shù)不僅僅只是人類的特性，其它的動物（比如鳥、猴子等）也有計數(shù)的能力。人類在木頭、骨頭或石頭上的計數(shù)符號從史前時代就開始被使用了。在石器時代的文化中，他們會使用計數(shù)符號進行賭博、私人服務(wù)和交易。

一切起源于計數(shù)。

最近的幾千年里，在不同的國度，數(shù)學(xué)都得到了發(fā)展。古埃及人寫下了第一個方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻(xiàn)，比如幾何和數(shù)秘術(shù)。中國數(shù)學(xué)家早就有了負(fù)數(shù)的概念?！?”這個數(shù)字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時期，數(shù)學(xué)家又跨越了一大步，書寫了第一部代數(shù)學(xué)的書籍。在文藝復(fù)興時期，數(shù)學(xué)與科學(xué)則共同欣榮發(fā)展。

當(dāng)然，以上提到的僅僅是數(shù)學(xué)歷史中的冰山一角，我不打算在這里提及更多。我的主要目標(biāo)是要帶你們進入現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)可以大致被分為兩個領(lǐng)域：純粹數(shù)學(xué)（研究數(shù)學(xué)本身）和應(yīng)用數(shù)學(xué)（用以解決更實際的問題）。但我們要記住的是，它們之間其實有著緊密的關(guān)聯(lián)。如果能的話，這張地圖更應(yīng)該是一張網(wǎng)絡(luò)，連接著每個相關(guān)的分支。但我們現(xiàn)在只能盡量把它呈現(xiàn)在二維的平面上。

左邊為純粹數(shù)學(xué)，右邊為應(yīng)用數(shù)學(xué)。

事實上，從歷史中我們會發(fā)現(xiàn)，有許多數(shù)學(xué)家一開始只是出于好奇以及對美的追求去研究數(shù)學(xué)，然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學(xué)分支，但對于真實世界卻一點用處都沒有。令人驚喜的是，比如在100年后，當(dāng)有些科學(xué)家正在試圖解決物理學(xué)或計算機科學(xué)最前沿的問題時發(fā)現(xiàn)，他們所需要的數(shù)學(xué)其實早就在純粹數(shù)學(xué)里被發(fā)展出來了。這樣的例子不勝枚舉，比如廣義相對論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī)；弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應(yīng)用在其它的科學(xué)領(lǐng)域中是非常令人欣喜的一件事。

先拋開純粹數(shù)學(xué)是否有一天能被應(yīng)用在現(xiàn)實中去，其實研究純粹數(shù)學(xué)本身也是非常有價值的事。如果你問一位數(shù)學(xué)家為什么要研究純粹數(shù)學(xué)，我想很多人的答案會簡潔到只有一個字，那就是：美！

現(xiàn)在我們首先進入純粹數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

純粹數(shù)學(xué)

純粹數(shù)學(xué)主要包括四個部分：

純粹數(shù)學(xué)包括數(shù)字系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)、空間和變化。

【數(shù)字系統(tǒng)】

數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)（1、2、3...）及整數(shù)（…-2、-1、0、1、2...）與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運算（＋－× ÷ ）。當(dāng)數(shù)系進一步發(fā)展時，整數(shù)被視為有理數(shù)（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理數(shù)則包含于實數(shù)（-4π、e、√2...）中。實數(shù)則可以進一步被廣義化為復(fù)數(shù)（4+3i、-4i...）。除此外，還有其它一系列的數(shù)（比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等）。還有一些數(shù)深受數(shù)學(xué)家的喜愛，比如π、e和質(zhì)數(shù)（1，3，11...）。

剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質(zhì)，例如，盡管實數(shù)和整數(shù)都有無限多，但實數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無限實際要比另一些大。

【結(jié)構(gòu)】

對結(jié)構(gòu)的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程（y=mx+c）。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個分支中，還有矢量和矩陣，它們都是多維數(shù)，而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究。

在這個分支內(nèi)，有一個被譽為“最純”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那就是數(shù)論。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征，比如質(zhì)數(shù)的性質(zhì)（質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質(zhì)數(shù)猜想等）。

另一方面，組合數(shù)學(xué)是一門研究可數(shù)或離散對象的數(shù)學(xué)分支，比如樹、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，一個熟悉的例子就是魔方，是一個置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學(xué)排序的直覺概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，比如哈斯圖，是用來表示有限偏序集的一種數(shù)學(xué)圖標(biāo)。

【空間】

純粹數(shù)學(xué)的另一個部分是研究形狀和它們在空間中的行為?？臻g的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領(lǐng)域，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數(shù)學(xué)模式，意思是說你無論你怎么放大它們看起來都是一樣的。

在其許多分支中，拓?fù)鋵W(xué)可能是20世紀(jì)數(shù)學(xué)中有著最大進展的領(lǐng)域。拓?fù)鋵W(xué)研究的是空間的不同性質(zhì)，你可以連續(xù)不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合。例如，無論你對莫比烏斯帶做什么，它永遠(yuǎn)只有一個面和一個邊界。在拓?fù)鋵W(xué)里，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓?fù)鋵W(xué)包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭議的四色定理（1976年由計算機證明）。

測度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學(xué)分支，它將數(shù)和空間聯(lián)系起來。最后，微分幾何是非常重要的一個數(shù)學(xué)分支，它研究在彎曲表面上的形狀的性質(zhì)，比如三角形在彎曲的表面中內(nèi)角和跟在歐式空間中的不一樣。

【變化】

了解及描述變化在自然科學(xué)里是一個普遍的議題，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此，作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學(xué)（函數(shù)的梯度的行為）、積分學(xué)（函數(shù)下的面積）和無窮級數(shù)的一個分支。而向量分析關(guān)注的則是向量場的微分和積分。

除此外，還有一系列其它的研究方向。動力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時間流逝從一個狀態(tài)演化到另一個狀態(tài)，比如流體流動或任何有反饋環(huán)路的東西（如生態(tài)系統(tǒng)）。混沌理論則是對系統(tǒng)的既不可預(yù)測而又是決定的行為作明確的描述，它對于初始條件非常敏感，比如著名的蝴蝶效應(yīng)。最后是復(fù)分析，對于實數(shù)及實變函數(shù)的嚴(yán)格研究為實分析，而復(fù)分析則為復(fù)數(shù)的等價領(lǐng)域。數(shù)學(xué)中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復(fù)分析來描述的。

以上這些便是純粹數(shù)學(xué)的各個分支。接下來我們進入應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。應(yīng)用數(shù)學(xué)的主旨在于將抽象的數(shù)學(xué)工具運用在解答科學(xué)、工程、商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實問題。

應(yīng)用數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)被廣泛地應(yīng)用在各個科學(xué)領(lǐng)域。

我們從物理學(xué)開始?；旧显诩兇鈹?shù)學(xué)提到的所有分支都多多少少的被應(yīng)用于物理學(xué)上。數(shù)學(xué)和理論物理跟純粹數(shù)學(xué)的關(guān)系是密不可分的。許多數(shù)學(xué)理論是在物理問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的；也有很多數(shù)學(xué)方法和工具通常只在物理學(xué)中找到實際應(yīng)用。例如，微分方程被應(yīng)用在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)；場論被應(yīng)用在電磁場、引力場和規(guī)范場；群論和表示論別應(yīng)用在粒子物理學(xué)中。

除了物理外，數(shù)學(xué)也被應(yīng)用在其它的自然科學(xué)上，特別是在數(shù)學(xué)化學(xué)和生物數(shù)學(xué)上。在數(shù)學(xué)化學(xué)中，數(shù)學(xué)模型通常被用以模擬分子；拓?fù)浠瘜W(xué)也是一個熱門的研究領(lǐng)域（2016年的諾貝爾化學(xué)獎就跟拓?fù)溆嘘P(guān)）。數(shù)學(xué)也大量應(yīng)用在生物學(xué)中，如由于基因?qū)W的發(fā)展，生物學(xué)家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過解析方法加以處理；演化生物學(xué)和生態(tài)學(xué)都大量使用數(shù)學(xué)理論等等。

數(shù)學(xué)也被大量應(yīng)用在工程學(xué)上，自古埃及和巴比倫時期，數(shù)學(xué)就被大量應(yīng)用在建筑上。非常復(fù)雜的電路系統(tǒng)，比如在飛機或電網(wǎng)中，就利用了動力系統(tǒng)的方法，叫控制理論。

（這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，對于那些本科選擇物理、化學(xué)和工程專業(yè)的學(xué)生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學(xué)知識。）

當(dāng)一些數(shù)學(xué)太過于復(fù)雜我們無法有效地解決時，我們就會用到數(shù)值分析，它也包含了對計算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如，如果你把一個圓圈放進一個正方形中，并向它扔許多的飛鏢，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量，你就可以得到 π 的近似值。但在現(xiàn)實中，數(shù)值分析通常會使用大型計算機來實現(xiàn)。

博弈論專注于思考游戲中的個體的預(yù)測行為和實際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)（游戲）間的相互作用。其中一個代表性的應(yīng)用例子是囚徒困境。博弈論在經(jīng)濟學(xué)、心理學(xué)、生物學(xué)、國際關(guān)系、政治學(xué)等其它學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用。

概率論是集中研究概率及隨機現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支，最簡單的隨機事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要領(lǐng)域為統(tǒng)計學(xué)，它利用概率論為其工具并允許對含有機會成分的現(xiàn)象進行描述、分析與預(yù)測。大部分的實驗、調(diào)查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計分析。因此被廣泛地應(yīng)用在各門學(xué)科，從自然科學(xué)、社會科學(xué)到人文學(xué)科。特別是在金融行業(yè)，通過統(tǒng)計分析以獲取最大的利益。

跟最大化利益相關(guān)的是最優(yōu)化，你試圖計算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇，也就是找到一個函數(shù)的最高或最低點。最優(yōu)化問題是人類的第二天性，我們一直在都在進行最優(yōu)化選擇，比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度，購買的時候想要物有所值等等。

另一個領(lǐng)域跟純數(shù)學(xué)有非常深的聯(lián)系，那就是計算機科學(xué)。計算機科學(xué)的規(guī)則事實上是從純數(shù)學(xué)中推導(dǎo)出來的。機器學(xué)習(xí)是實現(xiàn)人工智能的一個途徑，即以機器學(xué)習(xí)為手段解決人工智能中的問題。機器學(xué)習(xí)是一門多領(lǐng)域的交叉學(xué)科，利用了數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，比如線性代數(shù)、最優(yōu)化、動力系統(tǒng)和概率論等等。

最后，密碼術(shù)也是非常重要且實用的一個數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用到了純粹數(shù)學(xué)研究，比如組合數(shù)學(xué)和數(shù)論等。

現(xiàn)在我們已經(jīng)概括了純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要部分。但是，還沒有結(jié)束，我們不能夠忽略數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)試圖理解數(shù)學(xué)本身的性質(zhì)，并且追問所有數(shù)學(xué)規(guī)則的基礎(chǔ)是什么。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則？我們要如何證明它是否自洽？數(shù)理邏輯、集合論和范疇論就試圖回答這個問題。在數(shù)理邏輯中有一個非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理，對大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)并沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們?nèi)祟悇?chuàng)造的。這聽起來很奇怪，因為數(shù)學(xué)如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會認(rèn)為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步？這是一個非常深奧的謎題。

我們還有計算理論，它專注于研究不同的計算模型，基于這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了復(fù)雜性理論，其中P/NP問題是該領(lǐng)域中至今沒有解決的問題。

現(xiàn)在，我們有了一張通往數(shù)學(xué)世界的完整地圖：

數(shù)學(xué)地圖。（圖片來源：Dominic Walliman）

數(shù)學(xué)是一個非常抽象和美妙的世界，如果要用一句話形容它的重要性，那么我會選擇伽利略曾經(jīng)說過的：“如果一個人不懂得宇宙的語言，即數(shù)學(xué)的語言，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書?！?/p>

你們認(rèn)為學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)最大的樂趣是什么？